As expressões algébricas que são formadas a partir da união de duas ou mais variáveis e constantes, ligadas por meio de operações de multiplicação, subtração ou adição, são chamadas de polinômios. O adjetivo polinomial, por sua vez, é aplicado à quantidade ou operações que podem ser expressas como polinômios.
Graças aos polinômios, é possível realizar diferentes cálculos e chegar mais perto de uma função diferenciável. Muitas ciências usam polinômios em seus estudos e pesquisas, da química e física à economia.
Para realizar a adição ou subtração de polinômios, é necessário agrupar os diferentes monômios e simplificar aqueles que são semelhantes. A multiplicação, por outro lado, é desenvolvida multiplicando os termos de um polinômio pelos termos do outro, simplificando finalmente os monômios que são semelhantes.
É importante destacar que os polinômios não são infinitos, ou seja, não podem ser formados por um número infinito de termos. Por outro lado, a divisão é uma operação que nunca faz parte dos polinômios.
Uma propriedade dos polinômios é que adicioná-los, subtraí-los ou multiplicá-los sempre resultará em outro polinômio. Quando o polinômio possui dois termos, ele é denominado binomial. Se tiver três termos, por outro lado, é chamado de trinômio.
Outro conceito relevante ao trabalhar com polinômios é a noção de grau. O grau do monômio é o maior expoente de sua variável: o grau do polinômio, portanto, será o grau de seu monômio que terá o maior valor.
É conhecido como o polinômio de Taylor para um teorema enunciado na primeira década do século 18 pelo matemático Brook Taylor, natural da Grã-Bretanha, mas descoberto no final do século anterior por um matemático e astrônomo escocês chamado James Gregory. Graças ao seu uso no estudo de uma função, é possível chegar a aproximações polinomiais em um ambiente no qual ela pode ser diferenciada, além de aproveitar essa estimativa para limitar erros.
O método denominado interpolação polinomial, por sua vez, serve para aproximar os valores que assume uma determinada função, da qual simplesmente conhecemos sua imagem em uma quantidade finita de abcissas (coordenadas cartesianas). Em geral, apenas estão disponíveis os valores que leva para a abscissa (ou seja, a expressão da função é desconhecida).
Através deste método pretende-se encontrar um polinómio que também nos aproxime de outros valores que não são conhecidos com um determinado nível de precisão, para os quais existe a fórmula do erro de interpolação, que é utilizada para ajustar a precisão.
O termo polinômio primitivo responde a dois conceitos: um polinômio de uma estrutura algébrica (chamada domínio de fatoração único) em que todos os seus elementos só podem ser decompostos como um produto de elementos primos, de modo que seus coeficientes têm 1 como seu maior divisor comum; para uma extensão de corpos, o polinômio mínimo de um de seus elementos primitivos.
Isso nos leva ao conceito de um polinômio mínimo que, em matemática, se refere ao polinômio normalizado (cujo coeficiente principal é 1) de grau mais baixo de forma que seu resultado seja 0.