A noção de progressão pode estar associada a uma sucessão, progresso, desenvolvimento ou progresso de algo. Geométrico, por sua vez, é um adjetivo ligado à geometria (o ramo da matemática voltado para a análise das características das figuras no espaço ou no plano).
Essas definições nos ajudam a entender a que se refere a ideia de progressão geométrica. É uma sequência formada por elementos sucessivos, obtidos pela multiplicação do elemento anterior por um valor constante. Essa constante é chamada de fator ou razão.
Normalmente, uma progressão geométrica se refere a uma sequência que possui um número finito de termos. Por outro lado, se a sequência se estende até o infinito, costuma ser chamada de sequência geométrica.
Uma progressão geométrica cuja proporção é 5 seria a seguinte: 5, 25, 125, 625, 3125, 15625. Como pode ser visto, essa progressão é obtida multiplicando cada termo por 5: 5 x 5 = 25; 25 x 5 = 125; 125 x 5 = 625; 625 x 5 = 3125; 3125 x 5 = 15625.
No âmbito da referida progressão geométrica, devemos afirmar que existe o que se denomina interpolação de termos. É usado para definir o que é a construção de uma progressão geométrica que se identifica pelo fato de suas extremidades terem números dados. Assim, por exemplo, fica estabelecido que três números devem ser interpolados entre 3 e 48, o resultado será composto por 6, 12 e 24.
Como essa interpolação pode ser calculada? Basicamente executando a seguinte fórmula:
r = m + 1 √b / a
Nesta fórmula, m corresponde ao número de médias a serem interpoladas e tanto b quanto a são os números que estão localizados nos extremos. Assim, no exemplo dado acima, m seria o número 3, b seria 48 e seria 3.
Da mesma forma, não podemos ignorar que outra série de operações matemáticas pode ser realizada com o que é qualquer progressão geométrica. Especificamente, é possível proceder à soma de um certo número de mandatos consecutivos em qualquer progressão, e também mesmo que seja decrescente.
É interessante saber, neste sentido, que a soma dos termos da sequência é igual ao último termo pela razão menos o primeiro termo dividido pela razão menos 1.
Mas ainda há mais. O produto de um certo número de termos equidistantes de uma progressão geométrica também pode ser realizado.
É importante notar que o fator constante de uma progressão geométrica pode ser um número negativo ou mesmo um número fracionário. Quando a proporção é um número negativo, os elementos da progressão geométrica alternarão entre valores positivos e negativos:
Progressão geométrica com fator -3: 8; -24; 72; -216.
Progressão geométrica com fator 1,5: 2; 3; 4,5; 6,75.
Finalmente, deve-se notar que se o fator for 1, a progressão geométrica será constante:
Progressão geométrica com fator 1: 5, 5, 5, 5, 5 (desde 5 x 1 = 5; 5 x 1 = 5, etc.)